Hermite Curve 以及 Bézier Curve 贝塞尔曲线的简要计算

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作者：图林根の烤肠

详细资料可以查询 wiki 的百科网站，以下内容为个人总结，难免出现错误，欢迎指正最后。

要了解Hermite以及Bézier，首先来简要了解这个三次参数曲线（Parametric cubic curves）：

首先是一个空间三位曲线方程式如下：

这里面的 U 是scalar，B 是 basic function，而 G 就是 vector向量了，请注意这个线性方程可以转换为下图矩阵相乘的形式：

在了解了上面这个矩阵就可以开始正文了：

首先是 Hermite 曲线，它是由一些参数决定：

1. 2个首位端点 P1，P4 及其各自的斜率参数 R1 与 R4
2. Hermite 几何矢量（geometry vector）$G_{H}$
3. Hermite 矩阵为:

Hermite 曲线最后的表述方式如前面介绍的三次参数曲线为： $Q(u) = U \cdot M_{h} \cdot G_{H}$。这里不仅有人要问，这 Hermite 矩阵为什么是这个样子，其中的推导过程在这偷个懒，直接拽张图片过来

上图中的 Q(0) 与 Q(1) 分别为 u=0 与 u=1 用特殊法。带入上面的三次曲线方程的结果，然后对其方程式求导，带入u=0与u=1，分别求出 Q(0) 与 Q(1) 的斜率。因为 Q(u) = [P1:P4:R1:P4](这是一个4行一列的矩阵)，然后会得出一个等式:

又因为 $G_{H}$ 也等于[P1;P4;R1;P4], 所以方程两边可以消去[P1;P4;R1;P4]得到等式。

再求逆矩阵便可得到 Hermite 矩阵:

按照同样的方法，我们可以接下来获得贝塞尔曲线 Bézier Curve。下面这张图清晰直观的了解到 Bézier Curve 是一个三位空间曲线通过转换投影到2D平面的曲线。

同上面介绍的 Hermite曲线计算一样，Bézier curve 同理表述为

或者以矩阵的形式表示：

其中 $P_{i}$ 为行向量 (row-vector)，里面的推导过程就不介绍了，详情可以查询 维基百科 的网页介绍。 另外推荐一篇介绍 Hermite 曲线的 OpenGL 博客，非常值得一看。

参考资料：

3D-Repräsentation，Vorlesung Computeranimation WS 2009 © Nowak, Weigel, Kirchner, Schuller